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Algebra I (Español)

Curso de fuentes OpenUCLM

La principal originalidad de este curso consiste en que todos los problemas discutidos de álgebra lineal se resuelven usando un solo algoritmo, que proporciona el subespacio ortogonal de un subespacio lineal y su subespacio complementario. Esto permite analizar todos los problemas desde el punto de vista de la ortogonalidad, que es de gran alcance. Por ejemplo, el problema de determinar si un vector pertenece o no a un subespacio o la intersección de dos subespacios se resuelve al mirarlos como problemas de ortogonalización. El algoritmo permite invertir una matriz, calcular su determinante o determinar su rango muy fácilmente. Además, los problemas de actualizar inversas y determinantes al cambiar una fila se reducen a un solo paso del algoritmo. La compatibilidad de los sistemas de ecuaciones y la obtención de todas sus soluciones o la detección de la inviabilidad también son una aplicación directa del algoritmo. Además, todos los subsistemas de un sistema lineal dado pueden resolverse sin cálculos adicionales. Finalmente, se dan algunos ejemplos de aplicaciones ilustrativas.

Autores	Enrique Castillo
Fecha	06/10/2019	Idioma	Ingles

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En este primer bloque se realizará la presentación del curso del G9, exponiendo la estructura de bloques del mismo y su planificación secuencial.

An algebra course based on orthogonality.

Enrique Castillo

An algebra course based on orthogonality. All algebra problems are solved using an orthogonalization algorithm. It contains examples of engineering applications.

Motivación de un curso de álgebra basado en el concepto de subespacio ortogonal y ortogonalización

Enrique Castillo

Se motiva el curso, describiendo en qué consiste y las grandes diferencias que presenta frente a un curso tradicional de álgebra. La idea es utilizar un único algoritmo para resolver todos los problemas de álgebra que se analizan, aportando la idea de la ortogonalidad, que permite ver estos problemas desde una perspectiva diferente, mucho más rica y que sugiere directamente cómo resolver los problemas que se plantean.

En este primer bloque se estudiará el algoritmo de ortogonalización, que aunque diseñado para obtener los subespacios complementarios a un subespacio dado y su subespacio complemento, se utilizará posteriormente para resolver todos los problemas de álgebra lineal que veremos en este curso.

Algoritmo de ortogonalizacion

Enrique Castillo

En esta lección se presenta el algoritmo de ortogonalización con el que se van a resolver todos los problemas de álgebra que van a plantearse. El algoritmo recibe este nombre, ya que obtiene el subespacio ortogonal a un subespacio dado y su subespacio complementario. Para ello, se describe, paso a paso, el algoritmo con ejemplos.

Subespacios ortogonales y complementos

Enrique Castillo

En esta lección se explica, en detalle, cómo puede obtenerse el subespacio ortogonal a un subespacio dado y su subespacio complementario. Se dan varias alternativas y se muestra que la tabla final contiene toda la información necesaria para obtener los subespacios ortogonales y complemetarios, no sólo del subespacio de partida, sino también de los subespacios generados por cualquier subconjunto de sus generadores.

Transformaciones elementales de matrices

Enrique Castillo

En esta lección se presentan las transformaciones elementales de matrices por la derecha y por la izquierda. Se prueba que el algoritmo de ortogonalización es una secuencia de transformaciones elementales, lo que justifica el algoritmo para obtener la inversa de una matriz mediante este algoritmo y la fórmula de obtención del determinante de una matriz.

Este segundo bloque está enfocado a las aplicaciones algebráicas del algoritmo, que incluyen: el cálculo de inversas de matrices y su actualización al cambiar filas, El cálculo del determinante, el cálculo del rango de una matriz y una base de un subespacio vectorial, la pewrtenencia de un vector a un subespacio y la intersección de subespacios.

Inversa de una matriz y determinantes

Enrique Castillo

En esta lección se explica cómo utilizar el algoritmo de ortogonalización para obtener la inversa de una matriz y cómo se calcula el determinante de una matriz. También se explica cómo se obtienen la inversa y el determinante cuando se modifica una fila de la matriz inicial, utilizando un único paso del algoritmo. En otras palabras, se explica cómo actualizar inversas y determinantes tras el cambio de una fila.

Rango de una matriz

Enrique Castillo

En esta lección se aplica el algoritmo para calcular el rango de una matriz. El método es mucho más sencillo que el habitual, basado en buscar menores con determinante no nulo. El método se basa en determinar si una fila de la matriz es combinación de las anteriores, obteniendo el rango como el número de ellas que no lo son. Como subproducto de este proceso se obtienen las combinaciones lineales asociadas a cada una de las filas linealmente dependientes.

Pertenencia de un vector a un subespacio vectorial

Enrique Castillo

En esta lección se determina si un vector pertenece o no, a un subespacio. Más concretamente, se obtienen fórmulas para determinar si un vector pertenece a él. La idea consiste en ver al subespacio dado como el subespacio ortogonal de su subespacio ortogonal.

Interseccion de subespacios

Enrique Castillo

En esta lección se determina el subespacio intersección de dos subespacios dados. Para ello, se escribe la intersección como la intersección del primero con el subespacio ortogonal del subespacio ortogonal del segundo.

Este bloque se centra en los sistemas lineales de ecuaciones, inclyendo los sistemas homogéneos y los completos. También se explica cómo pueden resolverse simultáneamente todos los subsistemas de un sistema dado, así cómo analizar la compatibilidad de un sistema, es decir, si tiene o no tiene solución.

Sistemas lineales de ecuaciones homogeneos

Enrique Castillo

En esta lección se resuelve un sistema homogéneo de ecuaciones lineales mediante el algoritmo de ortogonalización. Para ello, se expresa cada una de las ecuaciones como el producto escalar del vector de sus coeficientes por el vector de las incógnitas, que debe ser nulo, lo que prueba que la solución es el subespacio ortogonal al subespacio generado por los coeficientes de las diferentes ecuaciones.

Sistemas lineales de ecuaciones completos

Enrique Castillo

Compatibilidad de sistemas lineales de ecuaciones

Enrique Castillo

En esta lección se analiza la compatibilidad de un sistema lineal de ecuaciones sin resolverlo, es decir, se obtienen las condiciones necesarias y suficientes que deben satisfacer los términos independientes para que el sistema sea compatible. La idea consiste en escribir el sistema de forma que se ponga de manifiesto que el vector de los términos independientes en caso de existir solución debe ser una combinación lineal de los vectores columna de los coeficientes, con coeficientes las incógnitas. Ello reduce el problema a un problema de pertenencia de un vector, el de los términos independientes, a un subespacio, el generado por las columnas de la matriz de coeficientes del sistema.

Con objeto de motivar y de ilustrar la potencia del algoritmo de ortogonalización y de las aplicaciones algebráicas, este bloque está dedicado a la presentación de aplicaciones a la ingeniería, tales como las redes de abastecimiento, de tráfico, de información, etc., los planos inclinados con masas y poleas, y los circuitos eléctricos.

Redes de abastecimiento de agua

Enrique Castillo

En esta lección se presenta el problema de abastecimiento de agua como un problema de sistemas de ecuaciones lineales completo. Se utilizan algunos ejemplos muy simples, para ilustrar los conceptos y mostrar cuáles son las ecuaciones, las incógnitas, los datos del problema, etc. Se interpretan físicamente los significados de las condiciones de compatibilidad y de las soluciones y se muestra que no es necesario utilizar el algoritmo, ya que los vectores básicos de la solución corresponden al número de huecos del sistema de abastecimiento.

Ejemplos de sistemas de ecuaciones. Planos inclinados y circuitos eléctricos

Enrique Castillo

En esta lección veremos dos ejemplos prácticos de sistemas de ecuaciones, estos vendrán de la mecánica y la electricidad

Red de abastecimiento de agua real

Enrique Castillo

En esta lección se presenta una red de abastecimiento mucho más complicada y se analizan varios aspectos prácticos importantes, como la numeración de los nodos. Puesto que la solución se sabe que es un espacio afín, cuyo espacio vectorial asociado tiene como dimensión el número de huecos, se obtiene la solución sin necesidad de utilizar el algoritmo.

Este bloque se proporciona una serie de exámenes tipo con sus soluciones, para facilitar que el alumno pueda comprobar si ha entendido el material explicado en los diferentes temas del curso. Corresponden al tipo de examen que hemos utilizado en la Universidad de Castilla-La Mancha durante 20 años y que se han mostrado como muy satisfactorios.

Examen de 2015

Enrique Castillo

Examen de 2016

Enrique Castillo

Examen de 2017

Enrique Castillo

Con objeto de facilitar la utilización de los métodos descritos en este curso y de que los alumnos puedan trabajar no sólo los los ejercicios y problemas planteados, sino otras aplicaciones, se presenta aquí una aplicación informática que implementa el algoritmo de ortogonalización. Finalmente, se da una lista de referencias bibliográficas.

Cómo usar la ortogonalización y los algoritmos gamma de doble cono

Enrique Castillo

Este video describe la aplicación que implementa los dos algoritmos descritos en los dos cursos de álgebra por Enrique Castillo.
El primero es el algoritmo de ortogonalización que obtiene el subespacio ortogonal a un subespacio lineal dado.
El segundo es el algoritmo de doble cono, que obtiene el doble cono de un cono dado.

Bibliografía

Enrique Castillo

Ejemplos de archivos de datos.

Algoritmo de ortogonalización

Enrique Castillo