Sistemas lineales de inecuaciones

Sistemas homogéneos de inecuaciones lineales

En esta lección se resuelven los sistemas lineales de inecuaciones, para lo que se escribe cada una de las ecuaciones como producto escalar del vector de sus coeficientes por el vector de las incógnitas. De esta forma, queda claro que la solución es el cono dual del cono generado por los vectores fila de los coeficientes.

Sistemas completos de inecuaciones lineales

En esta lección se resuelve un sistema completo de inecuaciones lineales mediante el algoritmo gamma. Se utiliza una incógnita nueva, que convierte el sistema en uno homogéneo más una inecuación no homogénea. La elección de ésta última inecuación se hace de forma que no se altere la solución del sistema inicial. Se utiliza además, por conveniencia una inecuación redundante, resultando un sistema homogéneo más la inecuación no homogénea. Por tanto, se resuelve primero el sistema homogéneo y, luego, se eliminan las soluciones que no cumplen la nueva inecuación.

Compatibilidad de un sistema lineal de inecuaciones

En esta lección se analiza la compatibilidad de un sistema lineal de inecuaciones sin resolverlo, es decir, se obtienen las condiciones necesarias y suficientes que deben satisfacer los términos independientes para que el sistema sea compatible. Para ello, se resuelve primero un caso particular y se muestra cómo reducir un caso cualquiera a este caso particular. La idea consiste en escribir el caso particular de forma que se ponga de manifiesto que el vector de los términos independientes en caso de existir solución debe ser una combinación lineal no negativa de los vectores columna de los coeficientes, con coeficientes las incógnitas. Ello reduce el problema a un problema de pertenencia de un vector, el de los términos independientes, a un cono, el generado por las columnas de la matriz de coeficientes del sistema.

Ecuaciones de un poliedro

En esta lección, puesto que se ha mostrado que la solución general de un sistema de inecuaciones lineales es un poliedro, se invierte el método de resolución de sistemas completos de inecuaciones para obtener las ecuaciones de un poliedro.

Conjuntos de soluciones de los sistemas lineales de inecuaciones

En esta lección se hace una discusión completa de los diferentes tipos de soluciones que pueden aparecer al resolver los sistemas lineales de inecuaciones, considerando todos los diferentes casos posibles.

Cono asociado a un polítopo. Facetas de conos y poolítopos

En esta lección se define el concepto de cono asociado a un polítopo, lo que permite obtener las hipercaras o facetas de cualquier dimensión de un polítopo a partir de las del cono asociado, que vienen dadas por el algoritmo gamma.