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La principal originalidad de este curso consiste en que todos los problemas discutidos de álgebra lineal se resuelven usando un solo algoritmo, que proporciona el subespacio ortogonal de un subespacio lineal y su subespacio complementario. Esto permite analizar todos los problemas desde el punto de vista de la ortogonalidad, que es de gran alcance. Por ejemplo, el problema de determinar si un vector pertenece o no a un subespacio o la intersección de dos subespacios se resuelve al mirarlos como problemas de ortogonalización. El algoritmo permite invertir una matriz, calcular su determinante o determinar su rango muy fácilmente. Además, los problemas de actualizar inversas y determinantes al cambiar una fila se reducen a un solo paso del algoritmo. La compatibilidad de los sistemas de ecuaciones y la obtención de todas sus soluciones o la detección de la inviabilidad también son una aplicación directa del algoritmo. Además, todos los subsistemas de un sistema lineal dado pueden resolverse sin cálculos adicionales. Finalmente, se dan algunos ejemplos de aplicaciones ilustrativas.
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En este primer bloque se realizará la presentación del curso del G9, exponiendo la estructura de bloques del mismo y su planificación secuencial.
An algebra course based on orthogonality.
Enrique Castillo
Motivación de un curso de álgebra basado en el concepto de subespacio ortogonal y ortogonalización
En este primer bloque se estudiará el algoritmo de ortogonalización, que aunque diseñado para obtener los subespacios complementarios a un subespacio dado y su subespacio complemento, se utilizará posteriormente para resolver todos los problemas de álgebra lineal que veremos en este curso.
Algoritmo de ortogonalizacion
Subespacios ortogonales y complementos
Transformaciones elementales de matrices
Este segundo bloque está enfocado a las aplicaciones algebráicas del algoritmo, que incluyen: el cálculo de inversas de matrices y su actualización al cambiar filas, El cálculo del determinante, el cálculo del rango de una matriz y una base de un subespacio vectorial, la pewrtenencia de un vector a un subespacio y la intersección de subespacios.
Inversa de una matriz y determinantes
Rango de una matriz
Pertenencia de un vector a un subespacio vectorial
Interseccion de subespacios
Este bloque se centra en los sistemas lineales de ecuaciones, inclyendo los sistemas homogéneos y los completos. También se explica cómo pueden resolverse simultáneamente todos los subsistemas de un sistema dado, así cómo analizar la compatibilidad de un sistema, es decir, si tiene o no tiene solución.
Sistemas lineales de ecuaciones homogeneos
Sistemas lineales de ecuaciones completos
Compatibilidad de sistemas lineales de ecuaciones
Con objeto de motivar y de ilustrar la potencia del algoritmo de ortogonalización y de las aplicaciones algebráicas, este bloque está dedicado a la presentación de aplicaciones a la ingeniería, tales como las redes de abastecimiento, de tráfico, de información, etc., los planos inclinados con masas y poleas, y los circuitos eléctricos.
Redes de abastecimiento de agua
Ejemplos de sistemas de ecuaciones. Planos inclinados y circuitos eléctricos
Red de abastecimiento de agua real
Este bloque se proporciona una serie de exámenes tipo con sus soluciones, para facilitar que el alumno pueda comprobar si ha entendido el material explicado en los diferentes temas del curso. Corresponden al tipo de examen que hemos utilizado en la Universidad de Castilla-La Mancha durante 20 años y que se han mostrado como muy satisfactorios.
Examen de 2015
Examen de 2016
Examen de 2017
Con objeto de facilitar la utilización de los métodos descritos en este curso y de que los alumnos puedan trabajar no sólo los los ejercicios y problemas planteados, sino otras aplicaciones, se presenta aquí una aplicación informática que implementa el algoritmo de ortogonalización. Finalmente, se da una lista de referencias bibliográficas.
Cómo usar la ortogonalización y los algoritmos gamma de doble cono
Bibliografía
Ejemplos de archivos de datos.
Algoritmo de ortogonalización
Aquí encontraras las diapositivas de Álgebra 1
Diapositivas