Matemáticas y su Didáctica

ASIGNATURA: Matemáticas  y su Didáctica  (E. Musical)

TIPO: TRONCAL

Nº DE CRÉDITOS : 6

CURSO : 2º  E. MUSICAL   

arriba

OBJETIVOS

                 Proporcionar al alumno una ampliación y profundización de los   contenidos, recursos  metodológicos y  materiales para la enseñanza de las Matemáticas  en Educación Musical

METODOLOGÍA: En  cada tema se proporcionará una relación de ejercicios que tendrán que resolverlos en grupos y cuya corrección se realizará en el despacho, asimismo se les dará tres ejercicios de cada tema que tendrán que resolverlos de forma individual y direcciones en Internet donde puedan encontrar ejercicios ,tienen que traer tres resueltos .

 SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

.-CUANTIFICADORES

Son símbolos que se utilizan en la teoría de conjuntos con el objeto de reducir frases o expresiones

Cuantificador universal   " significa que todos los elementos tienen que verificar

Cuantificador existencial $ significa que algún   elemento verifica la propiedad

' cuantificador existencial

" cuantificador universal

Los conjuntos los escribimos con letras mayúsculas

Los elementos los escribimos con letras minúsculas

íý  un conjunto se escribe con llaves

Π significa que un elemento pertenece al conjunto

 Ï significa que un elemento no pertenece al conjunto

.Ì significa esta contenido o bien es un subconjunto

 É significa contiene,  Ë no esta  contenido

A = íxÎR / x ² –1 = 3  ý     se lee:

 Sea A  El conjunto de los elementos  x que pertenecen a  R tal que cumplen esa condición

 /   significa tal que

p Þq  significa   que si se cumple p entonces se tiene       que cumplir q

pÜq  significa   que si se cumple q entonces se tiene que cumplir p

pÛq

 È  Unión de conjuntos se utiliza Ú = o bien

Ç  Intersección de  conjuntos se utiliza Ù = y además

@ Equipotencia         A @ B

D  Diferencia simétrica    A D B = (A-B) È(B-A)

*  ·  Son operaciones algebraicas

  f  :  R® R  significa

         x® f(x)

Sea f de R en R tal que a cada x le corresponde f(x)

Estudio de intervalos

Intervalos sobre la recta real:

··· Los números naturales ···
N = {0,1,2,3,...}

··· Los números enteros ···
Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

··· Los números racionales ···
Q = {p/q tal que p y q pertenecen a los enteros, q0}

Los números que tienen un número finito de decimales son racionales
Los números que son periódicos son racionales

··· Los números reales ···
R = {números decimales, incluso con infinitos decimales}

Con los números reales llenamos la recta.

··· Los números complejos ···
C = {a+bi / a,b pertenecen a los reales , i = }
Los números complejos se representan en el plano.
Con los números complejos toda ecuación tiene solución.

Los números que tienen infinitos decimales y no son periódicos son irracionales
Los números irracionales se dividen, a su vez, en:
   - Algebraicos: aquellos que son solución de alguna ecuación algebraica
   - Trascendentes: aquellos que no son solución de ninguna ecuación algebraica

 ALGEBRA

El lenguaje algebraico considera los números , sus propiedades y sus leyes en abstracto

EJEMPLO

Ana sale de viaje con 80 euros. Para en carretera a comer gastándose 14 euros y pone gasolina por valor de 23 euros, saca posteriormente 100 euros de un cajero ¿Cuánto dinero le queda?

ARITMÉTICAMENTE SERÍA

80 – 23 – 14  + 100

80 – (23+14) + 100

(80 + 100 ) - (23+14)

ALGEBRAICAMENTE  SERÍA

a – b – c  + d

a – (b +c) + d

(a + d) - (b+c)

 Conjunto se define como una colección de cosas

Un conjunto esta formado por elementos dotados de unas ciertas propiedades comunes a todos.

Teóricamente un conjunto lo podemos definir de dos formas distintas:

.- Por extensión  que consiste en citar todos y cada uno de los elementos del conjunto

E =í a, e, i, o, u ý

A =í 1, 2,3,4, 5ý

.- Por comprensión que consiste en exponer una propiedad común a todos los elementos del conjunto

E =í vocales ý

A =íxÎN / 1 £ x   £  5ý

 Sin embargo, esta definición carece del rigor matemático necesario. Para evitar esto se requiere una axiomática. Existen varias axiomáticas para definir que es un conjunto. A continuación, se expone la axiomática de Zermelo-Fraenkel:

1. Dos conjuntos son iguales, si y solamente, si tienen los mismos elementos.
2. Existe un conjunto sin elementos (conjunto vacío.
3. Si A y B son dos conjuntos, existe un conjunto cuyos únicos elementos son A y B.
4. La reunión de un conjunto de conjuntos es un conjunto.
5. Existe un conjunto A, del cual el conjunto vacío es elemento, y que es tal que si a pertenece a A, la reunión de a y de {a} pertenece a A (implica la existencia de conjuntos infinitos.
6. Para toda relación R de la teoría y para todo conjunto A existe un conjunto B, que tiene por elementos los elementos de A que satisfacen a R.
7. Para todo conjunto A existe un conjunto que tiene por elementos las partes de A.
8. El producto de una familia de conjuntos no vacíos es un conjunto no vacío (axioma de elección).
9. Ningún conjunto es elemento de sí mismo.

Se llama conjunto vacío, al conjunto que no contiene ningún elemento.

Existen dos formas de determinar un conjunto:

1. Método de enumeración: Consiste en escribir todos y cada uno de los elementos que forman el conjunto. Ej.: A={1,2,3}.
2. Método de caracterización: Consiste en determinar los elementos de un conjunto exigiéndoles que verifiquen una ó más propiedades. Ej.: A={x  N / x<10}.

Definir por extensión:

M = í x Î Z/ x²+2 x £ 0ý    ,    P = í x Î R  / (x +5) (x +3) ³ 0ý

H = í x Î Z/ x²-3x+2£0ý    ,    H = í x Î R  / (x +4) (x -5) ³ 0ý

N = í x Î N/ x²-2x-3£0ý      ,  Q = í xÎZ  / (x +2) (x –5) < 0ý

S = íxÎR  / x (x +1) (x +3) £ 0ý   ,  O = íxÎR  / x (x +1) (x +3) ³ 0ý

RELACIONES POSIBLES  ENTRE CONJUNTOS

1. - CONJUNTOS IGUALES

Dados dos conjuntos A y B decimos que esos dos conjuntos son iguales cuando poseen los mismos elementos

2. - SUBCONJUNTOS INCLUSIÓN

Dados dos conjuntos A y B se dice que A es un subconjunto de B cuando todos los elementos de A están en B.

Se escribe   A Ì B            

CASOS:

.- Si se verifica que

A Ì B               diremos que A = B

B Ì  A

.- Siempre se verifica que

    A Ì A

Es decir cualquier conjunto es subconjunto de él mismo

.-Si   A Ì B               diremos que A es un subconjunto propio de B

        B Ë  A

.- CONJUNTOS SOLAPADOS

Son aquellos conjuntos que tienen algún elemento común

A  =í 1,2,3ý  

B  =í 4,5,3ý  

.- CONJUNTOS DISJUNTOS

Son aquellos conjuntos que no tienen ningún  elemento común

A  =í 1,2,3ý  

B  =í4,5,6ý 

.-CONJUNTO UNIVERSAL

Es aquel conjunto que contiene por lo menos a todos los conjuntos de un problema concreto.

U =í 1, 2, 3, 4,5, 6, 7 ,8ý

A  =í 1, 3ý  

B =í 1, 2,3,4,5,6ý

 CONJUNTOS PARTICULARES

La teoría de conjuntos se aplica al campo numérico por esto existen determinados conjuntos de números que adquieren gran importancia y cuya simbología y contenido es necesario conocer

N  =í0, 1,2,3,5,6,7,8,9, .........ý

Z  =í0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, -5, 6, --6, 7, -7, 8, -8, 9, .........ý

Q = í0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, -5, 6, --6, 7, -7, 8, -8, 9,1/2, -1/2,3/5,ý

R =í0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, -5, 6, --6, 7, -7, 8, -8, 9,2^1/2, -(2^1/2),P, e,ý

C  =í0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, -5, 6, --6, 7, -7, 8, -8, 9,2^1/2, -(2^1/2),P, e, -2^1/2, -(-2^1/2)  ý

N Ì ZÌ Q Ì R Ì C

.-CONJUNTO DE LAS PARTES DE UN CONJUNTO

Dado un conjunto A llamamos conjunto de las partes de A y escribimos P (A), al conjunto formado por todos los subconjuntos de A incluidos el vacío y el propio conjunto A

A  =í 1,2 ý   tendrá 2² conjuntos

P (A) =í í 1 ý   í 2ý , A, Æ  ý  

A  =í 1, 2,3ý   tendrá 2³ conjuntos, etc.

.- PARTICIÓN DE UN CONJUNTO

Dado un conjunto A, llamamos partición de A  cualquier conjunto formado por subconjuntos de A que verifican las siguientes condiciones:

_Que cada subconjunto sea distinto del vacío

_Que la unión de todos los subconjuntos sea el conjunto A

-Que la intersección de esos subconjuntos sea el conjunto vacío.

 Ejemplo 

A  =í 1, 2, 3,4, 5, 6ý

B =í 1, 2,3ý   C  =í 4, 5,6ý    

B y C son una partición de A

.-COMPLEMENTARIO DE UN CONJUNTO

Dado el conjunto U llamado conjunto universal  y dado el conjunto A subconjunto de U se define

A ^c =í x Î U / x Ï Aý  

PROPIEDADES DEL COMPLEMENTARIO DE UN CONJUNTO

A È A ^c = U

A Ç A ^c = F

(A ^c )^c = A

(AÈ B) ^c = A ^cÇ B ^c    ý Leyes de Mórgan

(AÇB) ^c =  A ^cÈ B ^c            

F^c = U

U ^c = F

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia entre el conjunto A y el conjunto B al conjunto formado por todos los elementos pertenecientes al conjunto A que no pertenecen al conjunto B.

         A-B =  í x Î U /  x Î A  y x Ï B ý= AÇB ^c

Se llama diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, pero no a ambos.

DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS

  A  D  B = (A-B) È (B-A)

OPERACIONES CON CONJUNTOS

.- UNION DE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B llamo unión de esos dos conjuntos al conjunto formado por los elementos que pertenecen a  A o bien a B

(Dados dos  o más conjuntos, se define la  unión de esos dos conjuntos al conjunto formado por los elementos que pertenecen a  A o bien a B

.-INTERSECCION DE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B llamo intersección  de esos dos conjuntos al conjunto formado por los elementos que pertenecen a  A   y  a  B

         CASOS PARTICULARES

.-A Ì B           A ÇB = A

.-Si son conjuntos disjuntos la intersección es el vacío

.-Si son conjuntos solapados la intersección es lo que valga

PROPIEDADES DE LA UNION  DE CONJUNTOS

1. - PROPIEDAD UNIFORME

La unión de conjuntos siempre existe y es única

2. - CONMUTATIVA

cuando se cumple la siguiente condición

                                    AÈB =BÈA

3. - ASOCIATIVA

AÈ( B ÈC)=(AÈB) ÈC

4. - IDEMPOTENTE

Dado un conjunto A siempre se verifica

A È A =A

5. - ELEMENTO NEUTRO

A È F=A   , F È A =A

PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN  DE CONJUNTOS

1. - PROPIEDAD UNIFORME

La intersección de conjuntos siempre existe y es única

2. - CONMUTATIVA

                       A ÇB =BÇ A

3. -ASOCIATIVA

                     A  Ç (B Ç C) =(A Ç B) Ç C

4. -PROPIEDAD IDEMPOTENTE

                          A Ç A =A

5. -PROPIEDAD ABSORBENTE

                                 A Ç F=F

                                 F Ç A =F

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA INTERSECCIÓN RESPECTO DE LA UNIÓN

                                    A Ç( B È C)= (A  Ç B) È (A Ç C)

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA UNIÓN RESPECTO DE LA INTERSECCIÓN

                                            A È (B Ç  C)= (A È B) Ç  (A È C)

PROPIEDAD SIMPLIFICATIVA

(A È B) Ç  A =A

(A Ç B) È A =A

Ejercicio

Sea U=  í1, 2,3,4ý

Sea A =  í1,2 ý

Calcula A ^c

Ejercicio

Sea A =  í1, 2,3 ý

Sea B=  í3, 4,5 ý

Calcular  (AÈB)

Ejercicio

Sea A =  í1,2 ý

Sea B=  í3,4,5 ý

Calcular  (AÈB)

Ejercicio

Sea A =  í1,2,3,4 ý

Sea B=  í2,3 ý

Calcular  (AÈB)

Ejercicio

Sea A =  í1,2 ý

Sea B=  í4,5 ý

Calcular  (AÇB)

Ejercicio

Sea A =  í1,2,3 ý

Sea B=  í3,4,5 ý

Calcular  (AÇB)

Ejercicio

Sea A =  í1,2,3 ý

Sea B=  í2 ý

Calcular  (AÇB)

Ejercicio

Sea A =  í x Î N  / 1<x<7 ý

B = í x ÎN  / 2<x<8 ý

Calcular  (AÈB)

Ejercicio

Sea A =  í x Î N  / 1<x<7 ý

B = í x Î N  / 2<x<8 ý

Calcular  (AÇB)

Ejercicio

En el  diagrama

               A         3                 4                B

                              2       6      5

              9                                8                      U                          

Definir A, B, U , A ^c,  (AÇB),  (AÇB),   A ^cÇ B

Ejercicio

Supongamos que existe un conjunto U universal

¿Cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuales falsas

AÈ F=A            ,           AÇA=F

AÇ F=A           ,             A ÈU=U

AÇU=U              ,          A Ç F=   F            

AÈA^C=U             ,          ( (A) ^C) ^C=U

AÈA^C=A            ,           (A - B) ^C=B - A

AÈA=A               ,             (AÈB) - B=A - B

AÇ(A-B)=AÈB     ,          (A - B) ^C=A^C -B^C

Ejercicio

Sean  A y B conjuntos  tales que

AÈB= ía, b, c, d ý

AÇB= ía, c ý

A –B =íb ý

Hallar A y B

Ejercicio

Sea A =  í x Î R  / x Ï N ý

B = íxÎR  / x > 87 / 13 ý

Calcular  (AÈB )^c

Solución

(AÈB )^c =A ^cÇ B ^c

A^c=  íxÎR  / xÎN ý

B ^c=íxÎR  / x £ 66/13 ý

A^cÇB ^c=í0,1,2,3,4,5 ý

Ejercicio

Demostrar la siguiente igualdad:

    A - (A-B) =A ÇB

solución

A - (A-B) =AÇ(A ÇB ^c) ^c =A Ç(A ^cÈB)= (A ÇA ^c) È(A ÇB)= (A ÇB)

Ejercicio

Demostrar la siguiente igualdad:

A-( B ÇC)= ( A-B) È(A-C)

solución

A-( B ÇC)=AÇ (B ÇC)^c = AÇ(B ^cÈC^c)= (A ÇB ^c) È (A ÇC^c)=(A-B) È(A-C)

Ejercicio

Demostrar la siguiente igualdad:

 B-(A ÇB)= (B-A)

Solución

B-(A ÇB)=BÇ(AÇB)^c =BÇ(A ^cÈB ^c)= (B ÇA ^c) È(B ÇB ^c)= (B-A)

Ejercicio

Demostrar la siguiente igualdad:

(A-C)-(B-C)=(A-B)-C

(A-C)-(B-C)=(A ÇC^c) Ç(B ÇC^c)^c=(A ÇC^c) Ç(B ^cÈC)=

 (A ÇC^c) ÇB ^c)È (A ÇC^c)ÇC)=

(A ÇB ^c) ÇC^c)È (A Ç(C^cÇC)= (A-B)-C     ya  que

(C^cÇC)=F             , (A Ç(C^cÇC)= F

Ejercicio

Demostrar la siguiente igualdad:

 (AÈB) Ç (AÈB ^c) Ç (A^cÈB)= (A ÇB)

Solución

(AÈB) Ç (AÈB ^c) Ç (A^cÈB)= (AÈBÇ A) È (AÈBÇ B ^c) Ç (A^cÈB)=A Ç (A^cÈB)=

( A Ç A^c ) È (A ÇB)= (A ÇB)

Ejercicio

Demostrar la siguiente igualdad:

(A-B) È  (B-A)=(AÈ  B)-(A ÇB)

Solución

(A-B) È  (B-A)= (A ÇB ^c) È (B ÇA ^c)=( (A ÇB ^c) È B) Ç( (A ÇB ^c) È A ^c)=

 ((AÈB) Ç(B ^c ÈB)) Ç (( A ^c ÈA) Ç(( B ^c ÈA ^c)= ((AÈB) ÇU) Ç ( U Ç( B ^c È A ^c))= ((AÈB)  Ç( B ^c È A ^c))= ((AÈB)  Ç( B  Ç A )^c)= ((AÈB)  Ç( A  Ç B )^c =

= (AÈB)  -( A  Ç B )

 Ejercicio

Simplificar la siguiente expresión

(AÈB) Ç (AÈB ^c) È(A ÇF)                                       ( =A)

Ejercicio

Demostrar la siguiente igualdad:

 A-(BÈC)=(A-B) Ç(A-C)

Demostración

(A-B) Ç(A-C)=(A  Ç B ^c) Ç(A  Ç  ^c )=AÇ (B ^c  Ç  ^c )= AÇ (B   È  C) ^c = A- (BÈC)

Ejercicio

Demostrar la siguiente igualdad:

(A-B) È(AÇB) È  (B-A)=AÈB

Demostración

(A-B) È(AÇB) È  (B-A)= (AÇB ^c) È(AÇB) È  (BÇA ^c) =( (AÇB ^c) ÈA) Ç

( (AÇB ^c) ÈB) È  (BÇA ^c)=(AÇ((AÈB) Ç(B  ÈB ^c)) È  (BÇA ^c)=

AÇ((AÈB) ÇU) È  (BÇA ^c)=AÈ  (BÇA ^c)= (AÈB) Ç(A  ÈA ^c)=  (AÈB) ÇU =

AÈB

Ejercicio

Demostrar la siguiente igualdad:

AÇ(B-C)=(AÇB) -(AÇC)

La demostración la hacemos con el segundo miembro es mas fácil

Ejercicio

Demostrar la siguiente igualdad:

AÇ(B-C)=(AÇB) –C

Ejercicio

Demostrar la siguiente igualdad:

(AÈB)-C =(A-C) È(B-C)

Ejercicio

Dado el conjunto U y dados A, B, C subconjuntos de U

Simplificar

((A ÇB) ÇC) È((A ÇB) ÇC^c) È(A ^c ÇB)

Ejercicio

Dado el conjunto U y dados A, B, C subconjuntos de U

SIMPLIFICAR:

(AÇ(BÇC ^c)^c) È[(A ^cÈB ^c) ÈC)]^c

Solución

(AÇ(BÇC^c)^c) È[(A ^cÈB ^c) ÈC)]^c =[AÇ(B ^cÈC)] È (A^cÈB ^c)^cÇC^c=

=[AÇ(B ^cÈC)] È[(AÇB) ÇC^c]= [(AÇB ^c)  È (AÇC)] È [(AÇB) ÇC^c ]=

(AÇB ^c)  È (AÇB)   È (AÇC) ÇC ^c = AÇ(B  È B ^c) È(AÇC) ÇC ^c =

(AÇU) È(AÇ(C ÇC^c)=AÈF=A

Ejercicio

Dado el conjunto U y dados A, B, C subconjuntos de U

SIMPLIFICAR:

(A ÇB)  È  (A ÇC)  È (A^C  Ç B^C)^C= (A ÇB)  È  (A ÇC)  È (A   È B)=

(AÇ(BÈC) ) È(A   È B)=(A   È B) È  (AÇ(BÈC) )=

( (A   È B) ÈA) Ç (A   È B)È (BÈ C)=( (A   È B)  Ç (A   È BÈ C)=

 (A   È B) 

Ejercicio

SIMPLIFICAR:

(AÇ(BÇC ^c)^c) È[(A ^cÈB ^c) ÈC)]^c ÈB

Solución

(AÇ(BÇC ^c)^c) È[(A ^cÈB ^c) ÈC)]^c ÈB =[AÇ(B ^cÈC)] È[ (A^cÈB ^c)^cÇC^c ) ]ÈB =

[(AÇB ^c)  È (AÇC)]   È [(AÇB)  ÇC^c ) ÈB]=[(AÇB ^c)  È (AÇC)]   È[(AÇB) ÈB

Ç (C^c ÈB)] =[(AÇB ^c)  È (AÇC)]   È[BÇ (C^c ÈB)] =[(AÇB ^c)  È (AÇC)] È  B =

  (AÇB ^c)   È  B È (AÇC)=(AÈB) Ç(BÈB^C) È (AÇC)= )=(AÈB) ÇU) È (AÇC)

(AÈB)  È (AÇC)=?

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