ASIGNATURA: MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA
TIPO: TRONCAL
Nº DE CREDITOS : 6
CURSO : 2º DE E. PRIMARIA
TEMA 1. -CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
Punto medio de un segmento en el plano. Distancia entre dos puntos. Estudio de rectas ,Resolución de sistemas de ecuaciones lineales y significado geométrico .Estudio de la parábola . Estudio de la elipse.Estudio de la circunferencia.
TEMA 2. - GEOMETRÍA DEL PLANO
.- Estudio de la línea .Ángulos y sus tipos .Formas de medir ángulos. Operaciones con ángulos. Polígonos .Estudio general de un triángulo . Forma de un triángulo . Puntos y rectas notables de un triángulo . Semejanza de un triángulo. Teorema de Tales. Resolución de un triángulo . Área de un triángulo .Cuadriláteros: clasificación por sus ángulos ,clasificación por sus lados. Estudio de los polígonos regulares: lados, ángulos, diagonales etc. del triángulo, cuadrado, rectángulo, paralelogramo rombo, Trapecio, romboide, pentágono, etc... Estudio de las figuras circulares: Longitudes y áreas Estudio de áreas de figuras en el plano.
TEMA 3. - GEOMETRÍA DEL ESPACIO
.- Ángulos diedros. Ángulos poliedros.Áreas de figuras en el espacio. Volúmenes de figuras
Tema 4. - FUNDAMENTACIONES DE GEOMETRÍA
.-Fundamentación pedagógica. Fundamentación psicológica .Fundamentación histórica. Fundamentación matemática.
Tema 5. –FUNDAMENTACIONES DEL NÚMERO NATURAL
Tema 5.1-
Modelo matemático del nº Natural. Historia del Numero . Fundamentación pedagógica
Tema 6. - SISTEMAS DE NUMERACIÓN
.-Sistema de numeración egipcio. Sistema de numeración romano. Sistema de numeración binario. Sistema de numeración en otras bases . Sistema de numeración decimal . Didáctica de los sistemas de numeración
Tema 8. - ESTUDIO DE RAZONES Y PROPORCIONES
.-Teorema fundamental de las proporciones .Clases de proporciones .Regla de tres simple .Regla de tres compuesta Repartos proporcionales.Intereses de bancos. Letras del Tesoro. Pagares
Tema 9. -FUNDAMENTACIONES DE LA MAGNITUD
.-Fundamentación matemática.Fundamentación histórica de la magnitud.Fundamentación psicológica. Fundamentación histórica.
OBJETIVOS
Proporcionar al alumno una ampliación y profundización de los contenidos, recursos metodológicos y materiales para la enseñanza de las Matemáticas en Educ. Física
METODOLOGÍA: En cada tema se proporcionará una relación de ejercicios que tendrán que resolverlos en grupos y cuya corrección se realizará en el despacho, asimismo se les dará ejercicios de cada tema que tendrán que resolverlos de forma individual y direcciones en Internet donde puedan encontrar ejercicios ,tienen que traerlos resueltos .
EJERCICIO.- Hallar la distancia entre los puntos de coordenadas
a) (-2,3) y (5,1) , b) (6,-1) y (-4,-3) , c) (-1,-5) y (2,-3)
EJERCICIO.-
Ver si los puntos de coordenadas (3,8) (-11,3) y (-8,-2) son vértices de un triángulo isósceles.
Ver si los puntos de coordenadas (2,-2 ) (-3,-1) y ( 1,6) son vértices de un triángulo isósceles.
EJERCICIO.-
Ver si los puntos dados son vértices de un triángulo rectángulo
a) ( 7,5 ) ( 2,3 ) ( 6,-7)
b) ( -2,8 ) ( -6,1) ( 0,4)
c) ( 0,9) ( -4, -1) ( 3,2)
d) (1,1) (-2,-4) (1,-4)
EJERCICIO .-
Ver si los puntos dados son colineales
a) ( -3, -2 ) ( 5,2 ) ( 9,4)
b) ( 0,4 ) ( 3,-2 ) ( -2,8)
c) ( 0,6 ) (3, -1 ) (1,7)
d) (2,9) (-2,1) (-3,-1)
e) (0,5) (-1,3) (1,7)
EJERCICIO.-
Hallar el perímetro de los triángulos cuyos vértices son:
a) ( -2,5 ) ( 4,3 ) ( 7,-2)
b) ( 2,-5 ) ( -3,4 ) ( 0,-3)
c) ( -1 ,-2 ) ( 4,2) ( -3,5)
EJERCICIO
Determinar un punto que equidiste de los puntos dados
a) ( 1 ,7 ) ( 8, 6 ) ( 7 ,-1)
b) ( 3 ,3 ) ( 6,2 ) ( 8,-2 )
c) ( 4, 3) ( 2,7 ) ( -3, -8 )
EJERCICIO.-
Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo sabiendo que las coordenadas de los puntos medios de sus lados son
a) ( -2 ,1) (5,2) (2,-3)
b) (3,2) (-1,-2) (5,-4)
EJERCICIO.-
Representa gráficamente las siguientes rectas:
a) y = 2.x b) y = -x-1 c) y = 2.x + 3 d) y =0 e) y =2x-3 f) x = 0
g) y = -x +1 h) y = 3 i)3x +2y+1=0 j) -3x+ 2y= 0
EJERCICIO
Determinar m y n de modo que los puntos de coordenadas (0,m) y (n,0) son soluciones de la ecuación 2x -3y + 6 = 0.
EJERCICIO.-
Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-1) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (1,3 ) ( 2,0 )
EJERCICIO.-
Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-1) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (2, -2) y ( - 1,3)
EJERCICIO.-
Ecuación de la recta que pasa por el punto ( -4,5) y cuya pendiente es 2/3
EJERCICIO.-
Ecuación de la recta que pasa por el punto ( -4,1) y es paralela a la recta que une los puntos (2,3) y ( -5,0)
EJERCICIO.-
Ecuación de la recta que pasa por el punto ( 2, -1) y es perpendicular a la recta que une los puntos (4,3) y ( -2,5)
EJERCICIO.-
Siendo los vértices de un triángulo A(9,6) B(1,4) C(7,2) se pide
Hallar:
.- Ecuación del lado AB
.- Ecuación de la recta que pasa por (0, -3) y es paralela a BC
.- Ecuación de la perpendicular en el punto medio de AC.
EJERCICIO.-
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas
3x - 2y +10=0 y el punto (2,1)
4x+ 3y- 7 =0 ý
EJERCICIO.-
Ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección del as rectas
x +3y=5 , 3x +5y= 11 y es perpendicular a la recta x +y = 7
EJERCICIO.-
Resolver los siguientes sistemas. Representarlos gráficamente y significado geométrico de su solución:
a)y = x +2 b) x +y =3 c) 5x +y =6
y = 2x +3ý x +2y =4ý 5x +3y =7ý
d) 4x +2y = - 1 e) x -y =4 f) x –y =1
x +y =0 ý 3x - 3y= -3 ý 2x - 2y=2ý
g) x +y =2 h) x +y = 2 i) x +y =2 j) x +y = -3
x –y =4 ý 3x +3y=3ý x +y =4 ý 2 x +y =2ý
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
La suma de tres nº consecutivos es 114 ¿cuales son esos nº ?
¿Cual es el nº que al multiplicarlo por 2 y sumarle 84 al resultado es igual a 234
Las edades de Juan y Antonio suman 46 años Juan tiene 6 años mas que Antonio ¿Cual es la edad de cada uno?
Un padre dice a su hijo :Hoy mi edad es el triple que la tuya pero dentro de 18 años será solo el doble ¿cuantos años tiene cada uno?
El cociente y resto de una división entera son iguales a 4, entre el dividendo y divisor suman 149. Calcula
Los tres lados de un triángulo miden 18, 16, 9 cm. Determinar que misma cantidad se debe restar a cada lado para que resulte un triángulo rectángulo.
Hallar dos nº pares consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea 452
Determinar un nº que sumado con su raíz cuadrada sea 132
EJERCICIOS
Calcula los elementos notables y representa gráficamente
y = 2x 2 , y = x 2 – 5
y = - 2x 2 , y = x 2 +1
y = - x 2 +1 , y = 2x 2 +4x +2 , y = - x 2 +2x
y = x 2 +2x , y = x 2 +5x +16 , y = (x -3) (x +1)
y = - x 2 +3x + 10 , y = - x 2 - x + 2
y = (x -5) (x -3) , y = x 2 +2x +1 , y = - x 2 +3x , y = - x 2 - 3x
Ejercicios
Calcula la ecuación de la circunferencia cuyo centro C (2, -1) y r=2
Calcula la ecuación de la circunferencia cuyo centro C(0,0) y r=3
Dada la ecuación de la circunferencia x 2 + y 2 - 4x +2y - 4 =0 calcula su centro y su radio
Dada la ecuación x 2 + y 2 - 25 =0 ,mirar si es circunferencia. caso afirmativo calcula su centro y su radio
Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en el punto (5, -2) y de radio 3.
Ver cual de las siguientes expresiones representan una circunferencia. Caso afirmativo, calcula su centro y su radio:
x 2 + y 2 +2x -3=0 x 2 + y 2+ x y -x+4y-1=0
x 2 - y 2+2x +3y+5=0 x 2 + y 2 - 8x +2y +10 =0
x 2 + y 2 +4x - 5= 0 x 2 + y 2 -6y=0
2x 2 +2 y 2+6x+4y - 6=0 x 2 + y 2 - 9=0
x 2 + y 2 +9=0 x 2 + y 2 +9x=0
x 2 + y 2 +9y=0
ejercicios :
Halla la ecuación reducida de la elipse cuya distancia focal es de 10 m y el semieje mayor 12m
Halla la ecuación reducida de la elipse de eje mayor 18 m y de excentricidad 1/4
Halla la distancia focal, semieje menor y la ecuación reducida de la elipse si el semieje mayor es igual a 4 y la excentricidad igual a 3/5
Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a los puntos (2 ,0 ) , ( -2,0) es 8
Hallar la ecuación de la elipse que pasa por los puntos P(8,-3) Q (-6,4) ,calcular la excentricidad y la distancia focal.
Encontrar los elementos notables de la elipse de ecuación:
x 2 y 2
---- + ---- = 1
25 9
7º.- Encontrar los elementos notables de la elipse de ecuacion:
x 2 y 2
---- + ---- = 1
75 12
ejercicios :
Hallar el semieje mayor menor de la elipse de ecuación 4x 2+ 9 y 2 -8 x + 36 y -104 = 0
Calcula los elementos notables de las siguientes elipses
2x 2+7 y 2 -20 x +42 y +63 = 128
x 2+3 y 2 - 8 x -12 y -200 = 0
3 x 2+5 y 2 -12 x - 30 y -3 = 0
3 x 2+ 2 y 2 + 6 x -8 y = 9
3 x 2+ 6 y 2 +12 x -24 y = 108
2 x 2+ 4 y 2-12 x -24 y -51= 0
x 2+ y 2 +2x -4y -33 = 0
Estudio de las siguientes graficas ,calcular sus elementos notables y representa gráficamente:
- x 2+ y -4 x = 0 x 2+ y 2 + 8x = 0
x 2+ y 2 +3 x -2 y = 0 x 2+ y 2 -3 x -2 y-4 = 0
50 x 2+ 6 y 2 = 144 2x 2+ 2 y 2 -8 x = 0
30 x 2+ 40 y 2 +60= 0 x 2+ y +3 x +1= 0
- x 2-- y 2 +10= 0 30 x 2+ 40 y 2 +60= 0
x 2+ y 2 - 60= 20 x 2+ 15y 2 -20= 10
3 x 2+ 4 y 2 - 20= 0 30 x 2+ 40 y 2 -60= 0
Hallar los puntos de intersección de la recta x + y + 1 = 0 y la elipse 2 x 2+ 3y 2 - 4x + 6y - 9 = 0.
Averigua cuantos grados centesimales son 72º
Averigua cuantos grados sexagesimales son 89g
averigua cuantos grados sexagesimales y centesimales son 3P/2 radianes
averigua cuantos grados sexagesimales y centesimales son P/4 radianes
averigua cuantos grados sexagesimales y centesimales son P/2 radianes
Los ángulos M =15º48´37´´ y N =74º11´23´´
Halla el complemento de F =25º37´48´´
Hallar el suplemento de F =25º37´48´´
Calcula cada uno de los ángulos obtenidos al trazar la bisectriz del Angulo de medida A=125º36´
¿Cuál es el polígono que tiene 77 diagonales?
Que polígono tiene cuatro y media veces más diagonales que lados ¿
Cual es le polígono cuyo nº de diagonales es igual al nº de lados
Cual es le polígono cuyo nº de diagonales es el triple del nº de lados
Cual es le polígono cuyo nº de diagonales es el cuadrado del nº de sus lados
¿Cuál es le polígono que al triplicar el nº de lados obtiene otro que tiene 27 veces el nº de diagonales que contenía el primero?
¿Cuál es el polígono regular en el cual sucede que el nº que expresa el valor del Angulo interior es igual a 20 veces el nº de sus lados?
Si el nº total de diagonales que pueden trazarse en un polígono regular son 170¿cuánto mide un Angulo interior de dicho polígono?
Hallar el polígono regular del que Angulo interior vale 60º
Hallar el polígono regular cuya suma de ángulos interiores es 1440º
EJERCICIOS
La altura de un triangulo rectángulo divide a la hipotenusa en dos segmentos de longitud 8 y 18 cm. ¿Cuánto vale dicha altura?
Calcula la altura de un triangulo equilátero de 6cm de lado
Calcula la diagonal de un rectángulo de 9 y 6 cm de lados
En un triangulo rectángulo se conoce b =40cm b´= 32 cm .Calcula la hipotenusa, el cateto, la proyección del cateto c sobre la hipotenusa y la altura
En un trapecio isósceles se conoce base mayor =21,base menor =9,lado no paralelo =10 .Calcula la altura y la diagonal
Dado un hexágono de 6cm de radio calcula la apotema
Determina la diagonal de un cuadrado de 8 cm de lado
Determina el lado de un cuadrado de 10 cm de diagonal
Una torre de 150m de altura produce una sombra de 200m.Que distancia existe desde el punto mas alto de la torre hasta el extremo de la sombra?
Calcular el lado de un rombo siendo diagonales miden 12 y 16 cm
Una escalera de 10 m de longitud esta apoyada sobre una pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared¿ Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?
Ejercicio
Dado AB =60,BC =40,AC = 60, A´B ´=45.Calcular B´C´ y A´C´
Los lados de un triangulo miden 7,8 y 10 cm respectivamente hallar los lados de otro triangulo semejante cuyo perímetro es 75 cm
La razón de semejanza de dos polígonos es 2/7 y el perímetro de primero 38cm.¿ cuanto mide el perímetro del segundo?
Dado AB =3,BC =6,AC = 12, A´B ´=2. Calcular B´C´ y A´C´
Un plano de un terreno se ha hecho a escala 1/625.Averiguar que tendrá la fachada de una casa que en el dibujo mide 25cm.
Ejercicios:
HALLA:
a.- área de un rectángulo cuya altura mide 2 cm y su base mide 3 veces su altura
b.- área de un rectángulo de base 6 cm y altura 2/3 de la base
c.-el lado de un cuadrado de área 16 cm 2
d.- el área en m 2 de un cuadrado de 10 dm de lado
e.- el área de un triángulo cuya base es 10 cm y su altura mide 4/5 de la base
f.- el área de un triángulo cuya base es 5 cm y su altura mide el doble de la base
g.-Se cambian dos terrenos equivalentes, el primero es un cuadrado de 200m de perímetro y el segundo es un triangulo de 80m de base ¿Cuál es la altura del triangulo?
h.-Calcula las dimensiones de un rectángulo de 32m de perímetro y 63m2 de superficie
i.- Determina el área de un triángulo isósceles de 12 m de base y 10 cm de altura
j.- Determinar el área de un triángulo isósceles sabiendo que el perímetro es de 20 cm y que cada uno de sus lados iguales es el doble de la base.
k.-Calcular el perímetro de un rombo que tiene de diagonales 10 y 24 cm
l.-Un triángulo equilátero y un cuadrado tienen el mismo perímetro 18 cm. Determina el área de las figuras
m.-Desde un centro C de Cortina D´Ampezzo, Villa Cadore a 1200 m de Altitud parten 2 teleféricos, uno para Pocol (1500 m) y otro para Monte Faloria(2100m. Las líneas CP y CF se dirigen en sentidos opuestos respecto al Valle.La primera tiene una longitud de 1,9 Km y la segunda de 2,4 Km ¿Qué longitud tendría un teleférico que uniera directamente el Monte Faloria con Pocol?.
n.-En un rectángulo cada diagonal mide 8 cm mas que uno de sus lados y 16 cm mas que el otro. Calcula el área y perímetro de dicho rectángulo.
p.-Halla el área de un cuadrado tal que la diferencia entre su diagonal y el lado sea de 5 cm
q.-El lado de un cuadrado mide 5,2 m ¿En cuanto ha de aumentarse este lado para que el área del cuadrado aumente en 24,8 m2
r.-Un rectángulo tiene 48 m2 de área y su diagonal es de 10 m. Hallar la longitud de sus lados
s.-Un solar de forma rectangular tiene de diagonal de 26 m , la diferencia entre sus lados contiguos es de 14 m .Se desea saber el valor del solar al precio de 1.500 ptas el m2
t.-La base mayor de un trapecio rectangular es 5/3 de la base menor y el doble del lado oblicuo. Calcula los cuatro lados del trapecio sabiendo que el área es de96 dm2
u. -Sea una habitación cuadrada de 90m de lado. Se quiere cubrir el suelo con baldosas cuadradas de 30cm de lado, que cuestan a 35 Ptas. cada una. Calcular el área de la habitación , el área de cada baldosa.¿Cuántas baldosas se pondrán en la habitación ¿ .¿Cuánto cuestan todas las baldosas?
v.- Calcula la apotema y el área del hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 6cm
y.- Calcula la cuerda que se forma al inscribir un cuadrado de 5cm de lado en una circunferencia
Tema 4 : FUNDAMENTACIÓN PSICOLÓGICA DE LA GEOMETRÍA
LA GEOMETRÍA ES LA EXPLORACIÓN DEL ESPACIO.
Un niño desde su nacimiento explora el espacio. Durante esta exploración del espacio el niño se pone en contacto con las cosas, las toma entre las manos las aprieta las deforma trata de abrirlas; así el primer contacto con la geometría no tiene nada que ver con la medida ,no le preocupa al niño la distancia entre dos objetos o el ángulo bajo el cual se ven.
Lo que le preocupa es procurarse las cosas lo que hay dentro, etc.
Por eso los primeros conceptos son de carácter Topológico:Abierto, cerrado, delante, detrás, dentro, fuera, bordes etc.
Mas tarde se orienta en la dirección de estructuras proyectivas y finalmente métricas.
Para la orientación del espacio se utilizan juegos de discriminación perceptiva de la horizontalidad y verticalidad :abajo- arriba, derecha- izquierda, delante- detrás.
Para la adquisición de conceptos topológicos, se pueden utilizar juegos de orientación espacial, laberintos,
itinerarios etc.
La geometría en este primer estadio se reduce a la descripción de figuras y cuerpos.
Alrededor de los 6 años, la representación de polígonos, y una vez adquirida la conservación de la longitud, desarrollan espontáneamente el concepto de medición.
Por eso los juegos y material que se utilizan en este estadio tienen como finalidad el desarrollo sensorio- motor que conducirá a una descripción plástica gráfica y oral de las figuras y cuerpos.
Por tanto el conocimiento espacial se considera como un conocimiento que surge de la coordinación entre la percepción y la acción y se va a ir elaborando a lo largo de todo el desarrollo del niño.
En este desarrollo juega un papel muy importante la actividad del sujeto aplicada al cuerpo, a los objetos y al espacio en general.
Este conocimiento proviene en principio de la actividad sensoriomotriz, y posteriormente, ya en un nivel representativo, de la actividad mental o imaginada:
periodo sensorial / periodo representativo
____________________/_______________________/__
0 años 2 años 14 años
Se consideran tres tipos de relaciones espaciales:
.- Topológicas
.- Proyectívas
.- Euclidianas
La coordinación progresiva de estas relaciones permitirá la estructuración del espacio.
Esta estructuración pasa por dos etapas:
1ª Etapa o Etapa sensoriomotriz: Carencia de representación mental. Es la etapa donde se va a ir elaborando, a nivel practico, un conocimiento del espacio que será el punto de partida para las futuras reelaboraciones ,a nivel mental, de ahí su gran importancia.
2º Etapa o Etapa representativa: Que consta de:
a) Pre-operatoria o etapa que se caracteriza por comenzar las primeras reelaboraciones, a nivel representativo jugando un papel decisivo la capacidad de simbolizar propia de esta etapa.
Metodológicamente:
.- de 2 a 4 años en adelante se incorpora a la representación mental las propiedades topológicas.
.- de 4 a 5 años en adelante se incorpora a la representación mental las propiedades proyectivas.
.- 6 años en adelante se incorpora a la representación mental las propiedades Euclidiana
b) Operatoria: En esta etapa aparecen en primer lugar las operaciones concretas a través de las cuales surgen las relaciones proyectivas y euclidianas para llegar por ultimo a la constitución de las operaciones finales que se corresponde con una geometría que puede expresarse mediante proposiciones deductivas y cuyo contenido puede estar totalmente separado de la acción real.
Vemos por tanto que la geometría es inseparable del medio.
Cuando los niños hayan construido unas primeras imágenes mentales de las figuras y dominen unas técnicas de construcción de modelos(dibujo, plastilina) es cuando se puede hablar de lenguaje geométrico.
Vemos por tanto que el lenguaje de la geometría es el lenguaje plástico.
En la etapa infantil, la geometría consiste en un conocimiento y organización del espacio, basado en la exploración del mismo, a partir de las propias experiencias corporales.
El espacio es el primer medio que el niño explora desde que nace y muy especialmente desde que anda, por eso la geometría esta contenida en el primer bloque de infantil (por ser inseparable de la motricidad y esta incluida en el segundo ya que tiene por objeto el conocimiento de un aspecto básico del medio ambiente y nuestra situación en él.
¿Cómo podemos llevarlo a cabo?
Mediante juegos, dichos juegos tienen un componente matemático y nuestra tarea es matematizar dichos juegos, es decir, tenemos que extraer de ellos toda la matemática posible y de que forma aprovecharlos como punto de partida de diversas enseñanzas.
OBJETIVOS Y CONTENIDOS DE GEOMETRIA
1º.- Objetivo: Toma de conciencia de las principales nociones espaciales a nivel corporal.
Contenido: nociones de delante-detrás, arriba- abajo, izda-derecha
Nociones intuitivas de simetría corporal
Material y situaciones: el propio cuerpo y sus movimientos
2º.- Objetivo: Iniciación y desarrollo de la organización espacial
Se trabajaran nociones de dirección, orientación y situación en relación
Cuerpo-objeto
Contenido :nociones de orientación: arriba-abajo, atrás-delante
Nociones de dirección :desde, hasta, hacia
Nociones de situación :dentro ,fuera, lejos, cerca, entre
Elección de sistema de referencia
Actividades de exploración y descubrimiento
Material y situación: El propio cuerpo y sus desplazamientos libres
Objetos orientados y sus transformaciones
3º.- Objetivo: Reconocimiento de los aspectos topológicos de las situaciones y figuras
Contenido: Nociones topológicas abierto, cerrado ,proximidad , lejanía
Iniciación a las nociones de región frontera linea superficie
Actividades de reconstrucción y expresión
Material :el propio cuerpo
Objetos y figuras geométricas y sus transformaciones
CUESTIONES METODOLOGICAS DE LA GEOMETRÍA
A).-ENSEÑANZA EN EL CONTEXTO DE LA ACTIVIDAD. JUEGO DEL NIÑO
I.-Experiencias de exploración del espacio:
.- Distinguir cuando un niño esta parado.
.- Saltar dentro de un circulo pintado en el suelo.
.- Colocarse delante, detrás, cerca, lejos de un objeto.
.- reconocer en un dibujo con caminos el mas corto, el mas largo, etc.
.- Dictado de posiciones dándole algún objeto.
II.- Experiencias de tipo topológico y geométrico
.- Recortar formas sencillas (casitas, palillos etc.).
.- Dar el nombre a formas geométricas sencillas.
.- Representar líneas abiertas y cerradas mediante lanas, cordones, jugando al corro.
.- Pegar figuras formando puzzles
B). - TRABAJAR TANTO PROCESOS COMO CONTENIDOS
.- Se consideran los contenidos como instrumentos para el propio desarrollo de la inteligencia .
.- Las situaciones y experiencias reales deben utilizarse no solo para iniciación y descubrimiento de nociones sino también para su desarrollo y consolidación.
A nivel representativo se trabajan:
.- nociones topológicas básicas. .- figuras topológicas elementales.
FUNDAMENTACION HISTÓRICA DE LA GEOMETRÍA
Como consecuencia de la exploración del Universo por el hombre. Han existido diferentes etapas en el desarrollo de la matemática.
Con respecto al origen de la misma existen diversas teorías.
El hombre Neolítico puede haber disfrutado de escaso tiempo de ocio y haber tenido pocas necesidades para utilizar la agrimensura y sin embargo sus dibujos y diseños revelan un interés en las relaciones espaciales que prepararon el camino a la geometría.
La alfarería, el trabajo con mimbre, y los tejidos muestran en sus dibujos ejemplos de congruencias y simetrías que son en esencia partes de la geometría elemental.
Otra de las teorías es que la geometría lo mismo que la numeración tuviera su origen en ciertas prácticas rituales primitivas.
Así encontramos en los escritos de Herodoto y otros viajeros griegos la afirmación de la existencia del Rey Sesostris, el cual dividió la tierra en partes iguales para repartírsela a sus súbditos.
También sostenía que la geometría se había originado en Egipto, porque creía que dicha materia había surgido allí a partir de la necesidad práctica de volver a trazar las lindes de las tierras después de la inundación anual del Valle del río Nilo.
Aristóteles afirma que se originaron porque la clase sacerdotal de Egipto tenia el tiempo necesario para dedicarse a su Estudio. El hecho de que a los geómetras egipcios se les llamara los tensadores de cuerda se puede utilizar para apoyar cualquiera de las dos teorías, porque las cuerdas se usaron indudablemente, tanto para bosquejar los planos de los templos como para reconstruir las fronteras borradas por los terrenos.
Un documento que corrobora el origen egipcio de las matemáticas es el Papiro Rhind:
Este consiste en un manual practico de matemáticas egipcias, escrito hacia 1700 antes de Cristo. El autor del papiro mide áreas de triángulos, trapezoides y rectángulos. Igualmente mide volúmenes de cilindros y prismas y la superficie del circulo.
Asimismo, se incluye la determinación correcta del área de la semiesfera y la formula del volumen del tronco de pirámide
A su vez se atribuye a los Caldeos, la división de la circunferencia en 360 grados.
Igualmente, de estos se conocen escritos donde aparecen problemas en los que se incluye la determinación de la diagonal de un rectángulo en función de sus lados.
Todos estos conocimientos geométricos de los egipcios fueron captados por viajeros griegos, entre los que se encontraba Tales de Mileto.
A Tales de Mileto le han atribuido proposiciones como:
.- Todo diámetro biseca al circulo.
.- Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.
.- El ángulo inscrito en un semicírculo es recto.
.- Los lados correspondientes a ángulos iguales en triángulos semejantes son proporcionales.
.- Su propio teorema.
.- También se dice que fue el primero que alcanzo la generalidad en diversos problemas, de lo que eran observaciones particulares.
Un discípulo de Tales fue Pitágoras, el cual se dedico particularmente al aspecto aritmético de la geometría.
Euclídes fue el fundador y primer director de la gran escuela de matemáticas de Alejandría.Destaca su obra Los Elementos, donde recoge toda su filosofía y teorías
Comienza con una serie de postulados, definiciones y axiomas.
De la matemática Griega, es sin duda, la geometría la rama que surge con un grado de perfección.
2.000 años después de Euclídes, representara para Newton el modelo mismo de la construcción de una teoría científica.
El primer salto espectacular posterior a los griegos, es producido por la geometría Analítica. Fermat y Descartes van a sustituir los puntos de un plano por pares de nº y las curvas por ecuaciones.
Por tanto el Estudio de las propiedades de las curvas será reemplazado por el Estudio de las propiedades algebraicas de las ecuaciones correspondientes.
Se logra con esto la reducción de la geometría al álgebra
La geometría de Descartes se distingue de la geometría Antigua en que establece con una sola formula propiedades generales de familias enteras de curvas.
Mas tarde apoyándose en estas teorías, surge él calculo diferencial creado por Newton y Leibniz.
A partir de aquí Bernouilli, Euler, Lagrange completaran la reducción de la geometría al análisis
Geometría proyectiva
Sus precursores fueron Poncelet y Charles.
El problema que plantea Poncelet consiste en buscar por métodos propios la generalización de la geometría analítica. Charles llega a conclusiones idénticas.
Tanto Poncelet como charles van a incorporar los sistemas de transformaciones, como método fundamental de la geometría y además intentan con ello dar a esta ciencia, independientemente del álgebra, la misma generalidad, la misma flexibilidad, que había demostrado la geometría analítica.
Poncelet introduce la base de los “puntos cíclicos” en el infinito.
Con Líe y Klein,sobre la base de la noción de grupo de transformaciones y de sus correspondientes invariantes, se dispondrá de la herramienta necesaria para introducir las distinciones precisas entre los diferentes tipos de geometría.
Fue Klein quien formuló el nuevo punto de vista iniciando así una nueva etapa:
El paso de la etapa de transformaciones proyectivas a las estructuras de grupo.
Importancia para Klein fue su programa Erlagen (1827) que dice:
Hay transformaciones del espacio que no alteran para nada las propiedades geométricas de las figuras. Por el contrario estas propiedades son , independientes de la situación ocupada en el espacio por la figura considerada.
En dicho programa se considera a la geometría como una parte de la matemática que estudia las propiedades invariantes de los conjunto de puntos con respecto a un grupo de transformaciones, idea que hoy esta aceptada por casi todos los matemáticos y pedagogos, desde el punto de vista educativo.
Las conclusiones que conducen a una explicación Epistemológica son:
ETAPA INTRAFIGURAL: La geometría comienza con la síntesis que hace Euclídes, por un periodo durante el cual ,se estudian las propiedades de las figuras y de los cuerpos geométricos como relaciones internas entre los elementos de dichas figuras o dichos cuerpos.
No se toma en consideración el espacio como tal ni por consiguiente las transformaciones de las figuras en el interior de un espacio que las comprenda.
ETAPA INTERFIGURAL.- Etapa caracterizada por una puesta en relación de las figuras entre sí, cuya manifestación especifica, es la búsqueda de transformaciones que relacionen las figuras según múltiples formas de correspondencia, pero sin llegar a la subordinación de las transformaciones, a estructuras de conjunto.
ETAPA TRANSFIGURAL.- Caracterizada por la subordinación de las transformaciones a estructuras de conjunto.
La expresión mas característica de esta etapa es el programa Erlagen de Klein .
FUNDAMENTACIÓN MATEMÁTICA DE LA GEOMETRÍA
La fundamentación matemática de la geometría la vamos a desarrollar según la trabajo el matemático alemán Klein en su programa Erlagen.
En dicho programa se considera a la geometría como una parte de la matemática que estudia las propiedades invariantes de los conjunto de puntos con respecto a un grupo de transformaciones, idea que hoy esta aceptada por casi todos los matemáticos y pedagogos ,desde el punto de vista educativo.
Nos centraremos en los tres grupos de transformaciones que dan origen a la:
Topología, Geometría Proyectíva y Geometría Euclidiana ,definiendo los conceptos propios de cada geometría.
a).- TOPOLOGÍA
En ella se estudia aquellas propiedades de los espacios topológicos que permanecen inalterables por transformaciones bicontinuas.
Un espacio topológico es un conjunto de puntos en el que hay definida una topología.
Todas las transformaciones que conserven la relación de vecindad se denominan transfomaciones bicontinuas u homeomorfismos.
Una transformación bicontinua es aquella en la que los puntos que al principio se encontraban próximos lo están al final sin rotura ni fusiones.
Ejemplo:Estirar una goma
Tengo una goma mas tarde la estiro, al soltarla vuelve a estar como al principio ,he realizado una transformación bicontinua.
El conjunto de las transformaciones bicontinuas tiene estructura de grupo y constituye el grupo fundamental de la topología.
Se consideran nociones topológicas aquellas propiedades de los espacios topológicos que permanecen inalterables por el grupo de las aplicaciones bicontinuas.
Las mas características de estas propiedades topológicas son:
.- Los puntos de las líneas se quedan en las líneas.
.- Se conserva el nº de puntos señalados.
.- Se conserva el orden de los puntos señalados.
.- Las líneas cerradas se transforman en líneas cerradas.
.- Las líneas abiertas se transforman en líneas abiertas.
.- Se conserva la relación de proximidad y separación.
Todas las nociones relacionadas con estas propiedades como interior, exterior, frontera, junto a, serán nociones relacionadas con la topología.
Introducimos las nociones de cerrado y abierto, las cuales nos permitirá definir la idea de frontera.
La frontera nos permitirá definir después una región. Dos puntos A y B pertenecen a la misma región si resulta posible pasar de A a B sin atravesar ninguna frontera.
En topología las invariantes que la caracterizan dan lugar al estudio de conceptos tales como:
curva, camino, posición, región, etc.
b).- GEOMETRÍA EUCLIDIANA
La geometría Euclidiana esta relacionada con la medida.
Durante siglos se ha considerado esta geometría como referencia de toda geometrí a, por ello se puede considerar como la geometría por excelencia.
Esta geometría viene definida por un conjunto de transformaciones fundamentales:
1º.- Rotaciones: También llamadas giros. Todas las posibles rotaciones alrededor de un mismo centro constituyen un campo cerrado, pues no se puede salir de el por muchas rotaciones que efectuemos.
2º.- Simetrías: Dos simetrías no son equivalentes a una sola, sino a una rotación alrededor del punto de intersección de los ejes de simetría.
3º.- Traslaciones: Se componen siempre para dar otra traslación.
Dos simetrías sucesivas respecto a dos ejes paralelos son equivalentes a una traslación.
Esta serie de transformaciones nos permiten establecer una equivalencia entre figuras, es decir, una igualdad entre figuras.
Dos figuras P y P´ son congruentes cuando se puede obtener una de ellas, transformando la otra mediante movimientos.
El grupo fundamental de estas transformaciones son las Isometrias y el objeto de ella será el estudio de las propiedades de los conjuntos de puntos que permanecen inalterables frente a este grupo de transformaciones.
Las Isometrías pueden ser:
a) Directas. - Conservan la orientación (giros y traslaciones).
b)Inversas.- No conservan la orientación (simetría axial o un nº impar de simetrías).
Las propiedades invariantes de estas transformaciones son:
.- Se conserva la alineación y la ordenación.
.- Se conserva el paralelismo.
.- Se conservan los ángulos.
.- Se conservan las distancias.
c).- GEOMETRÍA PROYECTIVA
La geometría proyectiva se dedica al estudio de las propiedades de las figuras que trazadas en un plano y proyectadas a partir de un foco de luz ,permanecen invariantes.
Una de las propiedades mas importantes es el orden:
Por ejemplo si señalamos sobre una recta tres puntos A,B,C en este orden ,comprobamos que la proyección del punto B se encuentra entre las proyecciones de los puntos A y C.
Asimismo, el orden de los puntos A,B,C y D situados en una circunferencia, sus proyecciones se encuentran sobre una determinada curva y se conserva el orden.
Según que miremos el plano de la circunferencia por debajo o por encima, los puntos A,B,C, y D estarán
en sentido directo o inverso ,pero el sentido no es una propiedad proyectiva.
El grupo fundamental de esta geometría son las proyecciones y las secciones y constituyen el llamado grupo proyectivo.
En esta geometría a cada dirección le hacemos corresponder un punto llamado punto impropio o punto en el infinito esto quiere decir que a todo haz de rectas paralelas, al estar en la misma dirección les corresponde el mismo punto en el infinito. Por lo tanto en geometría proyectíva: dos rectas paralelas se cortan en dicho punto del infinito.
Las nociones que se estudian son líneas, rectas, superficie plana, polígonos, poliedros etc.
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